Leonardo de Pisa, Fibonacci, es el que da a conocer al mundo la sucesión de Fibonacci en su libro Liber abaci, junto con el problema de los conejos.
La sucesión de Fibonacci o secuencia áurea ya había sido descubierta con anterioridad por matemáticos hindúes tales como Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150) quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o nos de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era F(n+1), que es como sed representa al término n+1 de la sucesión de Fibonacci. Kepler también escribió sobre dicha sucesión. Y Robert Simson (en 1753) descubrió que:
F(n)/F(n-1)—>Relacion áurea cuando n tiende a infinito
La suceesión de Fibonacci es una sucesión de números de la forma:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…
Y su fórmula general es una función recursiva de término general
A esta fórmula se llega de forma sencilla mediante el método de diferencias divididas.Si consideramos la expresión F(n) = F(n-1)+F(n-2) y realizamos el cambio de variable x=F(n-1) llegamos a la expresión x²-x-1=0, cuyas soluciones son:
Es decir, las soluciones son el número áureo (1,618033989….) y su conjugado. Hay que tener que el número áureo es un número irracional por serlo la raíz de cinco. Este número áureo lo podemos considerar como uno de los valores propios de nuestra fórmula recursiva de Fibonacci, junto con su conjugado. Teniendo en cuenta que dichos valores propios son reales y distintos; y que nuestra forma recursiva la podemos considerar como una ecuación en diferencias, podemos averiguar la expresión de F(n) de forma explícita mediante:F(n) = a Fi^n + b fi^n , para averiguar a y b basta sustituir n = 0 y n= 2, obteniendo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, Al resolverlo nos queda que el término general de la sucesión de Fibonacci, en forma explícita es:
En la siguiente imagen podéis ver la sucesión de Fibonacci extendida al campo de los números reales.
Una de las propiedades es que cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la secuencia de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo:
17 = 13+3+1, 65 = 55+8+2.
El problema de los conejos
“Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil,
a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez,
tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos.
¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número
de meses?.”
Como podéis ver en el gráfico, el número de parejas a lo largo de los meses coincide con los términos de la sucesión.
La Sucesión De Fibonacci En El Arte
Como cosa curiosa de Fibonacci podemos destacar que el número de Fibonacci F(n+1) da el número de maneras para fichas de dominó 2 x 1 de cubrir un tablero de ajedrez de medidas 2 x n.
Como puedes ver la sucesión de Fibonacci tiene una importancia muy grande en la naturaleza, pero también aparece en el arte, en casos curiosos,…
Ahora te dejo a ti lector que investigues más sobre el tema, que tengas curiosidad de aprender de una forma entretenida, busca en las bibliotecas, en internet, la tele, documentales,… Pero sobre todo fíjate en el entorno que te rodea a ver si ves cosas que puedan estar relacionadas con la sucesión de Fibonacci.
La Espiral De Alberto Durero Y Las Meninas
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El Número De Oro
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